Przykład 2
Wielomian aproksymujący daną funkcję f(x) w sensie najmniejszych kwadratów powinien mieć stopień na tyle wysoki, aby dostatecznie przybliżać aproksymowaną funkcję, a jednocześnie stopień ten powinien być wystarczająco niski, aby wielomian ten wygładzał losowe błędy wynikające np. z pomiarów. W praktyce stopień wielomianu określamy a priori na podstawie analizy modelu fizycznego badanego zjawiska bądź też przeprowadzamy aproksymację kolejno wielomianami coraz to wyższych stopni i obliczamy odchylenia funkcji G. Dla lepszego zobrazowania tego przedstawiam następny przykład.
Tabela 2.
X |
0 |
0.1 |
0.2 |
0.3 |
0.4 |
Y |
-1 |
2 |
-3 |
4 |
-5 |
Dla funkcji liniowej otrzymujemy układ dwóch równań o następującym wyglądzie:
Rozwiązaniem tego układu równań jest funkcja:
y = -6x + 0.6
Funkcja ta i punkty z Tabeli 2 na wykresie przedstawiają się tak:
czerwone kółka – punkty z Tabeli 2;
zielona linia – wykres funkcji;
Korzystając ze wzoru na błąd średniokwadratowy otrzymujemy:
Dla funkcji kwadratowej otrzymujemy następujący układ równań:
Rozwiązaniem tego układu równań jest funkcja:
y = -85.7143x2 + 28.2857x - 1.1143
Funkcja ta i punkty z Tabeli 2 na wykresie wyglądają tak:
czerwone kółka – punkty z Tabeli 2;
zielona linia – wykres funkcji;
Korzystając ze wzoru na błąd średniokwadratowy otrzymujemy:
Dla funkcji trzeciego stopnia otrzymujemy następujący układ równań:
Rozwiązaniem tego układu równań jest funkcja:
y = -666.6667x3 + 314.2857x2 - 29.0476x - 0.3143
Funkcja ta i punkty z Tabeli 2 na wykresie przedstawiają się tak:
czerwone kółka – punkty z Tabeli 2;
zielona linia – wykres funkcji;
Korzystając ze wzoru na błąd średniokwadratowy otrzymujemy:
Dla funkcji czwartego stopnia otrzymujemy następujący układ równań:
Rozwiązaniem tego układu równań jest funkcja:
y = -20000x4 + 15333x3 - 3600x2 + 257x
– 1
Funkcja ta i punkty z Tabeli 2 na wykresie przedstawiają się tak:
czerwone kółka – punkty z Tabeli 2;
zielona linia – wykres funkcji;
Korzystając ze wzoru na błąd średniokwadratowy otrzymujemy:
Proces ten prowadzimy tak długo, jak
długo ze wzrostem stopnia wielomianu funkcja G maleje w znaczny sposób.
Niestety ta metoda ma istotną wadę. Wiadomo, że dla wartości m6 układ normalny jest układem źle uwarunkowanym, wskutek
czego otrzymane wyniki obliczeń na maszynach cyfrowych mogą być tak bardzo zaburzone,
iż nie nadają się do praktycznego wykorzystania przy aproksymacji.