Przykład 3

powrót

Aby zilustrować kłopoty w przypadku aproksymacji wielomianami wyższych stopni rozpatrzymy następujący przykład. W Tabeli 3 zestawiono wartości zmiennych x i y (zostały one wygenerowane jako tablica wartości wielomianu)

y = x6 + x5 + 2x4 + 3x3 + 5x2 +10x + 40

Tabela 3

X

y

x

y

1

2

3

4

5

6

7

62

232

1330

5984

20590

57952

140642

8

9

10

11

12

13

14

305080

606334

1123640

1966642

3282352

5262830

8153584

 

Współczynniki układu normalnego utworzonego na podstawie tej tablicy zmieniają się od 14 aż do 1014. Wielomian aproksymacyjny stopnia szóstego, otrzymany po rozwiązaniu na maszynie cyfrowej, ma postać

 = 1.070349x6 - 2.888804x5 + 85.02283x4 – 856.697x3 + 4422.734x2 - 10135.4x + 7434.164

i jak widać bardzo się różni od wielomianu użytego do generowania danych. Różnice między wartościami y i  dla x = 1, 2, ..., 14 wynoszą od 48 do 886.

Gdy obliczenia będziemy wykonywać ze zwiększoną dokładnością, wówczas

 = x6 + 1.000023x5 + 1.999317x4 + 3.005381x3 + 5.066897x2 + 8.56226x + 47.12713

Ten wynik jest dużo lepszy, a różnice między  y i  mają wartości od zera do 5.7.

 

Aby można było aproksymować wielomianami wyższych stopni, należy zastosować inną metodę rozwiązywania układu normalnego. Innym sposobem umożliwiającym aproksymację wielomianami wyższych stopni jest zmiana bazy podprzestrzeni Xm przez zastąpienie bazy jednomianów bazą złożoną z wielomianów ortogonalnych.