Przykład
porównujący różne metody aproksymacji
Tabela 7
X |
-1 |
-0.3 |
0.3 |
1 |
Y |
-5 |
1 |
-1 |
5 |
Dla
funkcji liniowej dla aproksymacji wielomianowej otrzymujemy następujący układ
równań:
4a + 0b = 0
0a + 2.186b = 9.4
Rozwiązaniem tego układu równań jest funkcja:
y = 4.3119x
Dla funkcji liniowej dla aproksymacji wielomianami ortogonalnymi otrzymujemy następujące współczynniki:
c0 = 0/1 = 0
c1 = 9.4/2.18 = 4.3119
Tak więc funkcja ma postać
y = 4.3119x
Dla funkcji liniowej dla aproksymacji wielomianami Czebyszewa otrzymujemy następujący układ równań:
4a + 0b = 0
0a + 2.18b = 9.4
Rozwiązaniem tego układu równań jest funkcja:
y = 4.3119x
Punkty z Tabeli 7 i wykresy funkcji dla podanych trzech metod aproksymacji przedstawia poniższy wykres:
czerwone kółka – punkty z Tabeli 7; niebieska linia – wykres funkcji y(x);
Dla funkcji kwadratowej układ równań dla aproksymacji wielomianowej ma postać:
4a + 0b +
2.18c = 0
0a + 2.18b
+0c = 9.4
2.18a + 0b +2.0162c
= 0
Rozwiązaniem tego układu równań jest funkcja:
y = 4.3119x
Dla funkcji kwadratowej dla aproksymacji wielomianami ortogonalnymi otrzymujemy następujące współczynniki:
c0 = 0/1 = 0
c1 = 9.4/2.18 = 4.3119
c2 = 0/1.0072 = 0
Tak więc funkcja ma postać:
y = 4.3119x
Dla funkcji kwadratowej dla aproksymacji wielomianami Czebyszewa otrzymujemy następujący układ równań:
4a + 0b +
0.36c = 0
0a + 2.18b
+0c = 9.4
0.36a + 0b +
3.3448c = 0
Rozwiązaniem tego układu równań jest funkcja:
y = 4.3119x
Punkty z Tabeli 7 i wykresy funkcji dla podanych trzech metod aproksymacji przedstawia poniższy wykres:
czerwone kółka – punkty z Tabeli 7; niebieska linia – wykres funkcji y(x);
Dla funkcji trzeciego stopnia układ równań dla aproksymacji wielomianowej ma postać:
4a + 0b +
2.18c + 0d = 0
0a + 2.18b
+0c + 2.0162d = 9.4
2.18a + 0b
+2.0162c + 0 d = 0
0a + 2.0162b + 0c + 2.0014d = 9.946
Rozwiązaniem tego układu równań jest funkcja:
y = 9.1614x3 – 4.1611x
Dla funkcji trzeciego stopnia dla aproksymacji wielomianami ortogonalnymi otrzymujemy następujące współczynniki:
c0 = 0/1 = 0
c1 = 9.4/2.18 = 4.3119
c2 = 0/1.0072 = 0
c3 = 4.306/0.3668 = 11.7394
Tak więc funkcja ma postać:
y = 4.306x3 + 4.3119x
Dla funkcji trzeciego stopnia dla aproksymacji wielomianami Czebyszewa otrzymujemy następujący układ równań:
4a + 0b +
0.36c + 0d = 0
0a + 2.18b +
0c + 1.5248d = 9.4
0.36a + 0b +
3.3448c + 0d = 0
0a + 1.5248b + 0c + 3.2546d = 11.584
Rozwiązaniem tego układu równań jest funkcja:
y = 2.2893x3 + 2.7107x
Punkty z Tabeli 7 i wykresy funkcji dla podanych trzech metod aproksymacji przedstawia poniższy wykres:
czerwone kółka – punkty z Tabeli 7; niebieska linia – aproksymacja wielomianowa;
zielona linia – aproksymacja ortogonalna; czerwona linia – aproksymacja Czebyszewa;