Przykład 1

powrót

Niech dane będą wyniki pomiarów zestawione w Tabeli 1. Poszukujemy zależności między x i y postaci 

ax + by = 1     

przy czym zadanie polega na znalezieniu najlepszych współczynników a oraz b.

Tabela 1.

X

1

3

4

6

8

9

11

14

Y

1

2

4

4

5

7

8

9

 

Przy tak sformułowanym zadaniu pojawia się problem: czy rozpatrywać odchylenia x, czy y? Przedstawię oba przypadki, pokazując jednocześnie, że prowadzą one do różnych wyników.

Gdy przyjmiemy, że wartości y są obarczone pewnymi błędami, wówczas minimalizujemy wyrażenie

gdzie  są określone za pomocą wzoru

 

axi + byi = 1

dla i = 1, 2, ..., n. Jeżeli natomiast przyjmiemy, że wartości x są obarczone błędami, to powinniśmy minimalizować wyrażenie

Przy czym

dla i = 1, 2, ...,n

Wartości xi i yi są każdorazowo brane z Tabeli 1.

            W przypadku minimalizacji wyrażenia

otrzymujemy układ normalny postaci

w którym a1 = -a/b, a0 = 1/b i stąd

Układ normalny dla danych z Tabeli 1 ma rozwiązanie

 

a0 = 6/11     i       a1 = 7/11     

i stąd równanie ma postać

11y – 7x = 6

Minimalizując w taki sam sposób wyrażenie

otrzymamy równanie

2x – 3y = -1

czerwone koła – punkty z Tabeli 1;

zielona linia – wykres równania 11y – 7x = 6;

niebieska linia – wykres równania 2x – 3y = -1;

Jak widać, równania te są różne, chociaż ich wykresy prawie się pokrywają.