Aproksymacja średniokwadratowa wielomianowa

powrót

 

            Jeżeli jako funkcje bazowe przyjmiemy ciąg jednomianów (xi), i = 0, 1, ..., m, to wzór przyjmie postać

k = 0, 1, 2, ..., m

i oznaczając

otrzymujemy układ normalny w postaci

     

Dla przykładu, układ ten dla aproksymacji wielomianem trzeciego stopnia dla n węzłów ma postać

 

Można wykazać, że jeżeli punkty x0, x1, ..., xn są różne i mn, to wyznacznik tego układu jest różny od zera, a więc układ ten ma jednoznaczne rozwiązanie. Jeżeli     m = n, to wielomian aproksymacyjny F(x) pokrywa się z wielomianem interpolacyjnym dla punktów x0, x1, ..., xn i wówczas G = 0. W praktyce stopień wielomianu jest znacznie mniejszy od liczby punktów, wtedy bowiem korzystamy z dużej ilości informacji (np. wyników pomiarów) uzyskując równocześnie prostsze (niskiego stopnia) funkcje aproksymujące.