Aproksymacja
średniokwadratowa wielomianowa
Jeżeli jako funkcje bazowe przyjmiemy ciąg jednomianów (xi), i = 0, 1, ..., m, to wzór przyjmie postać
k = 0, 1, 2, ..., m
i oznaczając
otrzymujemy układ normalny w postaci
Dla przykładu, układ ten dla aproksymacji wielomianem trzeciego stopnia dla n węzłów ma postać
Można
wykazać, że jeżeli punkty x0, x1, ..., xn są
różne i mn, to wyznacznik tego układu jest różny od zera, a więc układ
ten ma jednoznaczne rozwiązanie. Jeżeli
m = n, to wielomian aproksymacyjny F(x) pokrywa się z wielomianem
interpolacyjnym dla punktów x0, x1, ..., xn i
wówczas G = 0. W praktyce stopień wielomianu jest znacznie mniejszy od liczby
punktów, wtedy bowiem korzystamy z dużej ilości informacji (np. wyników
pomiarów) uzyskując równocześnie prostsze (niskiego stopnia) funkcje
aproksymujące.