Aproksymacja za
pomocą układu wielomianów ortogonalnych
Układ wielomianów nazywamy układem orogonalnym z funkcją wagową y = w(x) (z wagą w(x)) na zbiorze X = {xo,
x1, ..., xn} wtedy i tylko wtedy, gdy
= 0 dla j
k,
> 0 dla j = k
Układ ortogonalny funkcji {w tym również wielomianów}
jest układem funkcji liniowo niezależnym. Można zatem układ potraktować jako bazę pewnej przestrzeni funkcyjnej i
aproksymować funkcję y = f(x) za pomocą liniowej kombinacji funkcji bazy (za
pomocą wielomianów uogólnionych)
Rozwiązując zadanie aproksymacji średniokwadratowej metodą najmniejszych kwadratów zagadnienie wyznaczenia optymalnych współczynników c0, c1, ...,cm sprowadzamy do rozwiązania układu równań liniowych
g00c0 + g01c1
+ ... +g0mcm = h0
g10c0 + g11c1 + ... +g1mcm = h1
................................................
gm0c0
+ gm1c1 + ... +gmmcm = hm
w którym przyjęto poniższe oznaczenia
dla j, k = 0, 1, ..., m
dla j = 0, 1, ..., m
W przypadku, gdy funkcje tworzą układ
ortogonalny, na mocy definicji ortogonalności mamy
dla j
k (j, k = 0, 1, ..., m). Wówczas układ równań upraszcza się
do postaci
g00c0 = h0
g11c1 = h1
................................................
gmmcm = hm
Ponieważ na mocy definicji ortogonalności gjj > 0 dla j = 0, 1, ..., m , więc powyższy układ ma jednoznaczne rozwiązanie określone wzorami
dla j = 0, 1, ..., m
Powyższe
wzory wyznaczają współczynniki wielomianu aproksymującego. Odchylenie
średniokwadratowe funkcji aproksymowanej y = f(x) od wielomianu
aproksymacyjnego y = (x) wyraża się wzorem
Z powyższego wzoru wynika, że
Oznacza to, że odchylenie średniokwadratowe maleje monotonicznie wraz ze wzrostem stopnia wielomianu aproksymującego.