Przykład 3
Aby zilustrować kłopoty w przypadku aproksymacji wielomianami wyższych stopni rozpatrzymy następujący przykład. W Tabeli 3 zestawiono wartości zmiennych x i y (zostały one wygenerowane jako tablica wartości wielomianu)
y = x6 + x5 +
2x4 + 3x3 + 5x2 +10x + 40
Tabela 3
X |
y |
x |
y |
1 2 3 4 5 6 7 |
62 232 1330 5984 20590 57952 140642 |
8 9 10 11 12 13 14 |
305080 606334 1123640 1966642 3282352 5262830 8153584 |
Współczynniki układu normalnego utworzonego na podstawie tej tablicy zmieniają się od 14 aż do 1014. Wielomian aproksymacyjny stopnia szóstego, otrzymany po rozwiązaniu na maszynie cyfrowej, ma postać
= 1.070349x6
- 2.888804x5 + 85.02283x4 – 856.697x3 +
4422.734x2 - 10135.4x + 7434.164
i jak
widać bardzo się różni od wielomianu użytego do generowania danych. Różnice
między wartościami y i dla x = 1, 2, ..., 14
wynoszą od 48 do 886.
Gdy obliczenia będziemy wykonywać ze zwiększoną dokładnością, wówczas
= x6 +
1.000023x5 + 1.999317x4 + 3.005381x3 +
5.066897x2 + 8.56226x + 47.12713
Ten wynik
jest dużo lepszy, a różnice między y i mają wartości od zera
do 5.7.
Aby można było aproksymować wielomianami wyższych stopni, należy zastosować inną metodę rozwiązywania układu normalnego. Innym sposobem umożliwiającym aproksymację wielomianami wyższych stopni jest zmiana bazy podprzestrzeni Xm przez zastąpienie bazy jednomianów bazą złożoną z wielomianów ortogonalnych.