Aproksymacja za pomocą wielomianów Czebyszewa

powrót

           

            Jeżeli zamiast potęg x jako funkcji przybliżającej użyjemy wielomianów, które w całym przedziale zachowują się stosunkowo równomiernie, możemy oczekiwać bardziej równomiernego rozkładu błędu. Do tego celu znakomicie nadaje się baza złożona z wielomianów Czebyszewa.

            Wielomiany Czebyszewa pierwszego rodzaju są określone wzorami

 , dla k = 0,1, ...

Dla wielomiany Czebyszewa możemy zapisać w tzw. postaci trygonometrycznej.

Tk(x) = cos (k arccos x)    dla k = 0, 1, ...

Do obliczeń numerycznych najczęściej wykorzystuje się wzory rekurencyjne

 

T0(x) = 1,

T1(x) = x,

Tk(x) = 2xTk(x) – Tk-1(x)    dla k = 1, 2, ...

 

Wzór podstawowy na kolejne współczynniki funkcji ma postać:

 

dla i = 1, ..., m;

Dla  -1  x  1 , a często korzysta się z przesuniętych wielomianów Czebyszewa dla 0  x  1 . Można także wykorzystywać wielomiany Czebyszewa do aproksymacji większych przedziałów tylko trzeba proporcjonalnie do rozmiarów przedziału zwielokrotnić wielomiany podstawowe.

 

Tabela 5 podaje wykaz pierwszych paru wielomianów Tk(x) i Tk* (x), a także rozkład potęg 1, x, x2, ... za pomocą tych wielomianów.

Tabela 5.

T0 = 1;

T1 = x;

T2 = 2x2 – 1;

T3 = 4x3 – 3x;

T4 = 8x4 – 8x2 + 1;

T5 = 16x5 – 20x3 + 5x;

T6 = 32x6 – 48x4 + 18x2 – 1;

T7 = 64x7 – 112x5 + 56x3 – 7x;

T8 = 128x8 – 256x6 + 160x4 – 32x2 + 1;

T9 = 256x9 – 576x7 + 432x5 – 120x3 + 9x;

T0* = 1;

T1* = 2x – 1;

T2* = 8x2 – 8x +1;

T3* = 32x3 – 48x2 + 18x – 1;

T4* = 128x4 – 256x3 + 160x2 – 32x + 1;

1 = T0;

x = T1;

x2 = ½ (T0 + T2);

x3 = ¼ (3T1 + T3);

x4 = 1/8 (3T0 + 4T2 + T4);

x5 = 1/16 (10T1 + 5T3 + T5);

x6 = 1/32 (10T0 + 15T2 + 6T4 + T6);

x7 = 1/64 (35T1 + 21T3 + 7T5 + T7);

x8 = 1/128 (35T0+56T2 + 28T4 + 8T6 + T8);

x9 = 1/256 (126T1+84T3+36T5 + 9T7 + T9);

1 = T0*

x = ½ (T0* + T1*);

x2 = 1/8 (3T0* + 4T1* + T2*);

x3 = 1/32 (10T0* + 15T1* + 6T2*+ T3*);

x4 = 1/128 (35T0*+56T1*+28T2*+8T3*+T4*);