Przykład 1
Niech dane będą wyniki pomiarów zestawione w Tabeli 1. Poszukujemy zależności między x i y postaci
ax + by = 1
przy czym zadanie polega na znalezieniu najlepszych współczynników a oraz b.
Tabela 1.
X |
1 |
3 |
4 |
6 |
8 |
9 |
11 |
14 |
Y |
1 |
2 |
4 |
4 |
5 |
7 |
8 |
9 |
Przy tak sformułowanym zadaniu pojawia się problem: czy rozpatrywać odchylenia x, czy y? Przedstawię oba przypadki, pokazując jednocześnie, że prowadzą one do różnych wyników.
Gdy przyjmiemy, że wartości y są obarczone pewnymi błędami, wówczas minimalizujemy wyrażenie
gdzie są określone za pomocą
wzoru
axi + byi = 1
dla i = 1, 2, ..., n. Jeżeli natomiast przyjmiemy, że wartości x są obarczone błędami, to powinniśmy minimalizować wyrażenie
Przy czym
dla i = 1, 2, ...,n
Wartości xi i yi są każdorazowo brane z Tabeli 1.
W przypadku minimalizacji wyrażenia
otrzymujemy układ normalny postaci
w którym a1 = -a/b, a0 = 1/b i stąd
Układ normalny dla danych z Tabeli 1 ma rozwiązanie
a0 = 6/11 i a1 = 7/11
i stąd równanie ma postać
11y – 7x = 6
Minimalizując w taki sam sposób wyrażenie
otrzymamy równanie
2x – 3y = -1
czerwone koła – punkty z Tabeli 1;
zielona linia – wykres równania 11y – 7x = 6;
niebieska linia – wykres równania 2x – 3y = -1;
Jak widać, równania te są różne, chociaż ich wykresy prawie się pokrywają.