Wiadomości wstępne
Aproksymacja funkcji, jest to poszukiwanie pewnej funkcji aproksymującej F(x), która na danym, dyskretnym zbiorze argumentów przyjmowała zbliżone wartości z wartościami funkcji aproksymowanej. Funkcję f(x), znaną lub określaną tablicą wartości, będziemy aproksymować (zastępować) inną funkcją F(x), zwaną funkcją aproksymującą lub przybliżeniem funkcji f(x). Oczywiście przybliżenie takie powoduje pojawienie się błędów, zwanych błędami aproksymacji (przybliżenia) i problem oszacowania tych błędów oraz ich wielkość mają istotny wpływ na wybór metody aproksymacyjnej.
Aproksymowanie funkcji jest wymagane gdy np. mamy do czynienia z funkcją, której wartości na dyskretnym zbiorze argumentów są określone empirycznie (są np. wynikami pomiarów), a więc mogą być obarczone błędami, i wówczas żądanie dokładnego przyjmowania przez szukaną funkcję niedokładnych danych wartości nie ma sensu.
Niech będzie dana funkcja y = f(x), która na pewnym zbiorze X punktów x0, x1, x2, ..., xn. Wartości te możemy znać tylko w przybliżeniu, z pewnymi błędami, przy czym błędy te mogą być niejednokrotnie dosyć duże, co w istotny sposób wpływa na jakość aproksymacji. Będziemy poszukiwać takiej funkcji F(x) przybliżającą daną funkcję f(x), która umożliwi wygładzenie funkcji f(x), tzn. pozwoli z zakłóconych błędami danych wartości funkcji przybliżanej otrzymać gładką funkcję przybliżającą, z dużym prawdopodobieństwem mało odchylająca się od funkcji przybliżanej zarówno między węzłami, jak i w węzłach x0, x1, x2, ..., xn, jeżeli tylko przyjmiemy, że funkcja przybliżana ma dość gładki przebieg.
Niech będzie układem funkcji bazowych podprzestrzeni Xn.
Poszukujemy wielomianu uogólnionego F(x), będącego najlepszym przybliżeniem średniokwadratowym funkcji f(x) na zbiorze X = (xj), tj. funkcji postaci
Przy czym
współczynniki są tak określone, aby
wyrażenie
było minimalne.
Oznaczmy
gdzie funkcja wagowa w(x) jest ustalona z góry i taka, że w(xi) > 0 dla i = 0, 1, 2, ..., n, a Rj jest odchyleniem w punkcie xj. W następnych punktach będziemy przyjmować, że funkcja wagowa w(x) ma stałą wartość, równą tożsamościowo jedności. W pewnych specjalnych przypadkach dobiera się inne funkcje wagowe. Na przykład, jeżeli chcemy, aby otrzymane przybliżenie było w pewnych punktach lepsze (bowiem wiemy, że w tych punktach wartość funkcji znamy z mniejszym błędem), to przyjmujemy w tych punktach większe wartości funkcji wagowej.
Aby
znaleźć współczynniki ai obliczamy pochodne cząstkowe funkcji G
względem zmiennych ai. Z warunku
otrzymamy wówczas układ m + 1 równań liniowych z m + 1 niewiadomymi ai
zwany
układem normalnym. Ponieważ funkcje tworzą bazę
przestrzeni Xm, więc układ ten ma wyznacznik różny od zera i
rozwiązanie tego układu daje minimum funkcji G. W zapisie macierzowym układ ten
przyjmuje postać
DTDA = DTf
Gdzie
Macierz współczynników tego układu jest macierzą symetryczną i dodatnio określoną co zapewnia jednoznaczność rozwiązania.