Aproksymacja za pomocą układu wielomianów ortogonalnych

powrót

 

            Układ wielomianów nazywamy układem orogonalnym z funkcją wagową  y = w(x) (z wagą w(x)) na zbiorze X = {xo, x1, ..., xn} wtedy i tylko wtedy, gdy

 

= 0 dla j  k,

> 0 dla j = k

 

         Układ ortogonalny funkcji {w tym również wielomianów} jest układem funkcji liniowo niezależnym. Można zatem układ potraktować jako bazę pewnej przestrzeni funkcyjnej i aproksymować funkcję y = f(x) za pomocą liniowej kombinacji funkcji bazy (za pomocą wielomianów uogólnionych)

Rozwiązując zadanie aproksymacji średniokwadratowej metodą najmniejszych kwadratów zagadnienie wyznaczenia optymalnych współczynników c0, c1, ...,cm sprowadzamy do rozwiązania układu równań liniowych

 

g00c0 + g01c1 + ... +g0mcm = h0

g10c0 + g11c1 + ... +g1mcm = h1

................................................

gm0c0 + gm1c1 + ... +gmmcm = hm

 

w którym przyjęto poniższe oznaczenia

 

dla j, k = 0, 1, ..., m

 

dla j = 0, 1, ..., m

            W przypadku, gdy funkcje  tworzą układ ortogonalny, na mocy definicji ortogonalności mamy  dla jk (j, k = 0, 1, ..., m). Wówczas układ równań upraszcza się do postaci

 

g00c0                                 = h0

           g11c1                      = h1

................................................

                              gmmcm = hm

 

Ponieważ na mocy definicji ortogonalności gjj > 0 dla j = 0, 1, ..., m , więc powyższy układ ma jednoznaczne rozwiązanie określone wzorami

 

dla j = 0, 1, ..., m

Powyższe wzory wyznaczają współczynniki wielomianu aproksymującego. Odchylenie średniokwadratowe funkcji aproksymowanej y = f(x) od wielomianu aproksymacyjnego y = (x) wyraża się wzorem

 

Z powyższego wzoru wynika, że

Oznacza to, że odchylenie średniokwadratowe maleje monotonicznie wraz ze wzrostem stopnia wielomianu aproksymującego.