Aproksymacja za
pomocą wielomianów Czebyszewa
Jeżeli zamiast potęg x jako funkcji przybliżającej użyjemy wielomianów, które w całym przedziale zachowują się stosunkowo równomiernie, możemy oczekiwać bardziej równomiernego rozkładu błędu. Do tego celu znakomicie nadaje się baza złożona z wielomianów Czebyszewa.
Wielomiany Czebyszewa pierwszego rodzaju są określone wzorami
, dla k = 0,1,
...
Dla wielomiany Czebyszewa możemy zapisać w tzw. postaci
trygonometrycznej.
Tk(x) = cos (k arccos x) dla k = 0, 1, ...
Do obliczeń numerycznych najczęściej wykorzystuje się wzory rekurencyjne
T0(x) =
1,
T1(x) =
x,
Tk(x) = 2xTk(x) – Tk-1(x) dla k = 1, 2, ...
Wzór podstawowy na kolejne współczynniki funkcji ma postać:
dla i = 1, ..., m;
Dla -1 x
1
, a często korzysta się z przesuniętych wielomianów
Czebyszewa dla 0
x
1
. Można także wykorzystywać wielomiany Czebyszewa do
aproksymacji większych przedziałów tylko trzeba proporcjonalnie do rozmiarów przedziału
zwielokrotnić wielomiany podstawowe.
Tabela
5 podaje wykaz pierwszych paru wielomianów Tk(x) i Tk*
(x), a także rozkład potęg 1, x, x2, ... za pomocą tych wielomianów.
Tabela 5.
T0 =
1; T1
= x; T2
= 2x2 – 1; T3
= 4x3 – 3x; T4 =
8x4 – 8x2 + 1; T5
= 16x5 – 20x3 + 5x; T6
= 32x6 – 48x4 + 18x2 – 1; T7 =
64x7 – 112x5 + 56x3 – 7x; T8
= 128x8 – 256x6 + 160x4 – 32x2 +
1; T9
= 256x9 – 576x7 + 432x5 – 120x3 +
9x; T0*
= 1; T1*
= 2x – 1; T2*
= 8x2 – 8x +1; T3*
= 32x3 – 48x2 + 18x – 1; T4*
= 128x4 – 256x3 + 160x2 – 32x + 1; |
1 = T0; x = T1; x2 =
½ (T0 + T2); x3 =
¼ (3T1 + T3); x4 =
1/8 (3T0 + 4T2 + T4); x5 =
1/16 (10T1 + 5T3 + T5); x6 =
1/32 (10T0 + 15T2 + 6T4 + T6); x7 =
1/64 (35T1 + 21T3 + 7T5 + T7); x8 =
1/128 (35T0+56T2 + 28T4 + 8T6 + T8); x9 =
1/256 (126T1+84T3+36T5 + 9T7 + T9); 1 = T0* x = ½
(T0* + T1*); x2
= 1/8 (3T0* + 4T1* + T2*); x3
= 1/32 (10T0* + 15T1* + 6T2*+
T3*); x4
= 1/128 (35T0*+56T1*+28T2*+8T3*+T4*); |