Przykład porównujący różne metody aproksymacji

powrót

 

Tabela 7

X

-1

-0.3

0.3

1

Y

-5

1

-1

5

 

Dla funkcji liniowej dla aproksymacji wielomianowej otrzymujemy następujący układ równań:

4a + 0b = 0

0a + 2.186b = 9.4

Rozwiązaniem tego układu równań jest funkcja:

y = 4.3119x

Dla funkcji liniowej dla aproksymacji wielomianami ortogonalnymi otrzymujemy następujące współczynniki:

c0 = 0/1 = 0

c1 = 9.4/2.18 = 4.3119

Tak więc funkcja ma postać

y = 4.3119x

 

Dla funkcji liniowej dla aproksymacji wielomianami Czebyszewa otrzymujemy następujący układ równań:

4a + 0b = 0

0a + 2.18b = 9.4

Rozwiązaniem tego układu równań jest funkcja:

y = 4.3119x

Punkty z Tabeli 7 i wykresy funkcji dla podanych trzech metod aproksymacji przedstawia poniższy wykres:

czerwone kółka – punkty z Tabeli 7; niebieska linia – wykres funkcji y(x);

Dla funkcji kwadratowej układ równań dla aproksymacji wielomianowej ma postać:

4a + 0b + 2.18c = 0

0a + 2.18b +0c = 9.4

2.18a + 0b +2.0162c = 0

Rozwiązaniem tego układu równań jest funkcja:

y = 4.3119x

 

Dla funkcji kwadratowej dla aproksymacji wielomianami ortogonalnymi otrzymujemy następujące współczynniki:

c0 = 0/1 = 0

c1 = 9.4/2.18 = 4.3119

c2 = 0/1.0072 = 0

Tak więc funkcja ma postać:

y = 4.3119x

 

Dla funkcji kwadratowej dla aproksymacji wielomianami Czebyszewa otrzymujemy następujący układ równań:

4a + 0b + 0.36c = 0

0a + 2.18b +0c = 9.4

0.36a + 0b + 3.3448c = 0

Rozwiązaniem tego układu równań jest funkcja:

y = 4.3119x

Punkty z Tabeli 7 i wykresy funkcji dla podanych trzech metod aproksymacji przedstawia poniższy wykres:

czerwone kółka – punkty z Tabeli 7; niebieska linia – wykres funkcji y(x);

 

Dla funkcji trzeciego stopnia układ równań dla aproksymacji wielomianowej ma postać:

4a + 0b + 2.18c + 0d = 0

0a + 2.18b +0c + 2.0162d = 9.4

2.18a + 0b +2.0162c + 0 d = 0

0a + 2.0162b + 0c + 2.0014d = 9.946

Rozwiązaniem tego układu równań jest funkcja:

y = 9.1614x3 – 4.1611x

 

Dla funkcji trzeciego stopnia dla aproksymacji wielomianami ortogonalnymi otrzymujemy następujące współczynniki:

c0 = 0/1 = 0

c1 = 9.4/2.18 = 4.3119

c2 = 0/1.0072 = 0

c3 = 4.306/0.3668 = 11.7394

Tak więc funkcja ma postać:

y = 4.306x3 + 4.3119x

 

Dla funkcji trzeciego stopnia dla aproksymacji wielomianami Czebyszewa otrzymujemy następujący układ równań:

4a + 0b + 0.36c + 0d = 0

0a + 2.18b + 0c + 1.5248d = 9.4

0.36a + 0b + 3.3448c + 0d = 0

0a + 1.5248b + 0c + 3.2546d = 11.584

Rozwiązaniem tego układu równań jest funkcja:

y = 2.2893x3 + 2.7107x

 

Punkty z Tabeli 7 i wykresy funkcji dla podanych trzech metod aproksymacji przedstawia poniższy wykres:

czerwone kółka – punkty z Tabeli 7; niebieska linia – aproksymacja wielomianowa;

zielona linia – aproksymacja ortogonalna; czerwona linia – aproksymacja Czebyszewa;